形式論理における論理体系とそれに基づく形式理論

情報学ブログ:科学が論理ではないけど正しい理由 愚者の戯文:科学と論理は同じ「論理」という言葉を使って議論しているけど、実際に言及したい点が違っている。

形式論理において論理体系とは、以下の3つで構成されるもの。

  • 論理式を構成する語彙
  • 論理式の形成規則
  • どういう性質をもつ論理式を恒真式と見なすのかを決める論理的帰結

統語論の観点からは、論理的帰結はヒルベルト形式の公理システムとゲンツェンの自然演繹システムならば公理と推論規則で定義される。ゲンツェンのシーケント計算システムならば、始式と推論規則で定義される。他の形式システムではそれぞれに論理的帰結が定義されている。

ある分野の経験的真理(その分野では正しいと認められていること)をある論理体系 L の語彙と論理式の形成規則に基づく論理式として表現する。それらの経験的真理と論理体系Lをあわせ、Lの論理的帰結に従い、導出したすべての「真」である式の集合が論理体系Lに基づく形式理論。

数学のある分野の定理の集合や、物理のある分野の定理の集合などは、それぞれの分野の経験的真理を前提として知識体系を構築しているので、形式理論で表現するべき。元の論理体系で議論しても意味が無い。特に、論理体系はトートロジーしか含まないから論理体系の上で、科学は議論できないなんて当たり前のことは別にいう必要がない。

また、ある論理体系の表現力(語彙と論理式の形成規則)がある分野の経験的真理をすべて論理式化するのに十分であるかどうかと、ある分野の基本となる経験的真理を前提として、ある論理体系の論理的帰結に従い、その分野のすべての経験的真理を導出できるかという話は別の話。前者は、単なる表現の問題なので語彙と形成規則を修正すれば良いだけ。理屈上はいかなる経験的真理も論理式で書くことができる。後者については、いろんな研究者が、一生懸命研究しているところ。

前提ここまで。以下、本題。

科学が論理(形式論理)では示されない。さすがに科学の現場にいる人は、何となくでも分かっている人が多いのだろうけど、みんながみんなそういう知識を持っているわけではない。今後、こういう話題に触れたときのためにも、簡単に説明しておきたいと思う。
情報学ブログ:科学が論理ではないけど正しい理由 より)

まず、「科学が論理(形式論理)では示されない。」というのは何を議論しているのかあいまい。議論したいのは、推論手法に関する話の様子。具体的には、演繹ならば、前提がすべて真のときには結論も真が保たれるが、帰納(あるいは帰納や仮説生成)の場合は、仮に前提が真であったとしても結論は必ず真であるとはかぎらないという話。はっきりとこのように書いたほうが読んでいる人にわかりやすい。

一方で、愚者の戯文:科学と論理で述べているのは、形式理論の作り方の話。でも、用語としては論理体系と形式理論がまざっている。まず、論理体系レベルでさまざまな論理体系の構築が可能であり、さらに、その論理体系に基づく形式理論においても、リンク先エントリーに書かれているように前提となる経験的真理の選び方によって、さまざまな形式理論を構築できる。

情報学ブログでは、推論の形式について話しており、愚者の戯文では形式理論がさまざまに作れるということを話している。しかも、双方を「論理」という言葉でくくって議論している。

上記二つのエントリーを読んで混乱した人は戸田山和久:論理学をつくるを読もう。